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          2022年海南成人高考專升本《高等數學一》考點筆記(3)

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          2022-05-13 15:54:53 來源:海南成考網
          作者:楊老師
            導數應用的考點

            考點1 函數單調性的判定

            設y=f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導.

            1.若對于任意的x∈(a,b),有f'(x)>0,則y=f(x)在[a,b]上為單調增加的函數.

            2.若對于任意的x∈(a,b),有f'(x)<0,則y=f(x)在[a,b]上為單調減少的函數.

            考點2 函數取得極值的必要條件和充分條件

            1.必要條件

            設函數y=f(x)在點x?處可導,且在點x?處取得極值,則在點x?處必有f'(x?)=0或f'(x?)不存在,即x?必為函數f(x)的駐點或不可導點.

            反之不成立,即函數f(x)的駐點或不可導點并不一定就是極值點.

            2.第一種充分條件

            設函數y=f(x)在點x?的某一鄰域內可導,且f'(x?)=0(或在點x?處f'(x)不存

            在).若在此鄰域內:

            (1)當x0,而當x>x?時,f'(x)<0,則f(x)在點x?處取得極大值f(x?);

            (2)當x0,則f(x)在點x?處取得極小值f(x?);

            若當xx?時,f'(x)不改變符號,則f(x)在點x?處不取得極值.

            3.第二種充分條件

            設函數y=f(x)在點x?處具有二階可導,且f'(x?)=0,f''(x?)≠0.若

            (1)f”(x?)<0,則f(x)在點x?處取得極大值f(x?).

            (2)f”(x?)>0,則f(x)在點x?處取得極小值f(x?).

            (3)f”(x?)=0,則函數f(x)在點x?處可能取得極值,也可能不取得極值,這時需要用第一種充分條件判定.

            考點3 最大值與最小值的求法

            閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x)必定存在最大值與最小值.

            求最大值與最小值的一般方法是:

            1.求出f(x)在(a,b)內的所有駐點、導數不存在的點.

            2.求出上述各點及區間兩個端點x=a,x=b處的函數值.

            3.進行比較,其中最大的數值即為f(x)在[a,b]上的最大值,而其中最小的數值即為

            f(x)在[a,b]上的最小值.

            考點4 曲線凹凸性的判定

            設函數y=f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內二階可導.

            1.若在(a,b)內有f”(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)內為凹的.

            2.若在(a,b)內有f”(x)<0,則曲線y=f(x)在(a,b)內為凸的.

            考點5 曲線拐點的判定

            對于在(a,b)內的連續曲線弧y=f(x),判定拐點的一般方法是:

            1.求出該函數的二階導數,并求出使二階導數等于零的點,以及二階導數不存在的點.

            2.判定上述各點兩側,函數的二階導數是否異號,如果f''(x)在x?的兩側異號,則(x?,f(x?))為曲線弧y=f(x)的拐點.

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